Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Notation Mate,f (u). Soit A = 0 BB BB BB B@ 1 1 1 1 1 2 1 0 5 1 CC CC CC CA A est une matrice carrée d’ordre 3 et on a Tr(A) = 1+1+5 = 7. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. Calculs avec les matrices de passage exo7 matrice d’une application linéaire corrections d’arnaud bodin. Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 août 2017 à 13:56 Représentation matricielle des applications linéaires Table des matières 1 Matrice d’une application linéaire 2 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A. . Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! Dans ce chapitre nous étudions les propriétés d'une application linéaire et en particulier sa représentation matricielle dans des bases fixées. Utiliser une matrice pour définir une application linéaire. e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 —. Exemple d'une autre matrice de passage. Exercice 1 Soit R2 muni de la base canonique B = (~i;~j). Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! La matrice dépend évidemment des bases et . . Matrice d'une application linéaire dans différentes bases Changement de base théorique Matrice de changement de bases : définition. B = P-1AP En effet : Wikipédia possède un article à propos de « Matrice d'une application linéaire ». Une application f de Edans F est linéaire si l'image d'une combinaison linéaire 1u 1 + + ku k quelconque de vecteurs de Eest égale à la combinaison linéaire 1f(u 1)+ + kf(u k) des images de ces vecteurs par f. L'application nulle, qui à tout vecteur de Eassocie le vecteur nul 0 F de F, est linéaire. f(e3) = 7e’1 – 2e’2. On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : Changement de bases Fiche d'exercices ⁄ Matrice d'une application linéaire Ce chapitre est l’aboutissement de toutes les notions d’algèbre linéaire vues jusqu’ici : espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices. Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! La {j}-ième colonne de {A}est donc formée des composantes de {v_{j}} dans la base {\varepsilon}. Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. —. Déterminer Mat B;B(f), la matrice de f dans la base (~i;~j). Lycée Saint Louis PCSI5 TD22 Matrice d’une application linéaire Matrice d’une application linéaire Exercice 1 Déterminer les matrices dans les bases canoniques respectives des applications linéaires suivantes: u1 : Rn [X] → R , P 7→ P (1) u2 : Rn [X] → R Z 1 , P 7→ P (t)dt u3 : C3 [X] P u4 : R3 [X] P → 7→ → 7→ C3 [X] , P (X + 1) − P (X) R3 [X] . On peut aussi multiplier les matrices de passage. Matrice d'une application linéaire. Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Matrice d'une application linéaire 1 Question. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire ... Si E et F sont de dimension finie et ƒ est représenté par la matrice A, alors le rang de ƒ est égal au rang de la matrice A ; une telle applicaiton linéaire est un tenseur (Tenseur) d'ordre 2, … Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. Propriétés. Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. c) Déterminer le noyau et l’image de . Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). Matrice d'une application linéaire par rapport à une base. Exo7 Matrice d’une application linéaire Corrections d’Arnaud Bodin. Voyons un exemple d’application concret. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4. La matrice d'une application linéaire de dans est la matrice définie par : . Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. Matrice/Matrice d'une application linéaire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. —. . e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 Sommaire. Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. Exercices. En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! (a) Former la matrice de l’endomorphisme f du R-espace vectoriel C dans la base (1, i). Théorème. Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. . En algèbre linéaire , la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies , étant donné le choix d'une … — Soit f : R2!R2 la projection sur l’axe des abscisses R~i parallèlement à R(~i+~j). De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. Même question avec Mat f(e1) = 3e’1 + 4e’2 . Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. Allez à : … . Matrice d'une application linéaire dans une autre base.Bonus (à 5'56'') : Formule de changement de base.Exo7. Il s’agit d’une transformation ponctuelle. Dans ce chapitre, E , F et G désignent des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif K , munis chacun d'une … ... Déterminer la matrice de de la base dans la base . Matrice d’une application linéaire dans des bases Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’une application linéaire est entièrement définie par l’image d’une base. Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. Cette propriété est très utile pour construire la matrice d’une application linéaire. Cette matrice A définit entièrement l’application f. Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. Matrice d'une application linéaire Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Par exemple, si {n=3}, {j=2}, et si {\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\!} On aura donc les formules : En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). Attention ! Matrice d’une composée d’applications linéaires. La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… Représentation d’une application linéaire. Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. ATTENTION !! Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. Soit une application linéaire de dans , étant un espace vectoriel de dimension avec pair. Matrice d'une application linéaire En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. La matrice identité Matrice d’une application linéaire Chapitre 4 Exemple 2. Matrice d'une application linéaire partie 4. On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. Si {f\in\mathcal{L}(E,F)} est définie par {\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}} alors {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). —. B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. Comment calculer simplement et efficacement la matrice d'une application linéaire (dans la base canonique) —. La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. Exo7. Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). Matrice d'une application linéaire 1 | Informations [1] Marie-Claude,David - Licence : GNU GPL. Pour {1\le j\le p}, la {j}-ième colonne de {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)} est donc formée des composantes de {f(e_j)} dans {\varepsilon}. Bonus (à 10'45'') : Définition de la matrice d'une application linéaire. A = PBP-1 Soit un espace vectoriel de base (), ... En exprimant les composantes relativement à la base de sous la forme d'une combinaison linéaire, avec des scalaires doublement indicés : Par combinaison linéaire des lignes : en posant. Coordonnées de l’image d’un vecteur. — Dé nition6 Matrice d'un endomorphisme Exemple d'une autre matrice de passage. Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. On connaît tout d’une application linéaire quand on connaît la valeur qu’elle prend sur une base, donc on connaît tout d’une application linéaire quand on connaît sa matrice dans deux bases données. — On vérifiera que le rang de cette matrice est égal à la dimension de l'espace image. — Toute application linéaire s’écrit sous la forme d’un ~u → A~u avec un certain choix de A. Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la … 1.1. Changement de bases d'exercices Matrice d'une application linéaire Ce chapitre est l’aboutissement de toutes les notions d’algèbre linéaire vues jusqu’ici : espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices. Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! —. Si {v=(v_{j})_{1\le j\le p}}, on peut donc écrire : {A=M_{\varepsilon}(v)=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\cr {[v_{1}]}_\varepsilon&{[v_{2}]}_\varepsilon&\cdots&{[v_{p}]}_\varepsilon\\&&&\end{array}\right)}. C'est " matrice d'une linéaire u de E vers F dans les bases a de E et b de F" qui en a un (de sens) Ici il faut préciser les matrices choisies : … Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Isomorphisme u7!Mate,f ( ). Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. Questions Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases et , respectivement. a) Matrice d’une application linéaire dans des bases Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. Exemple : matrice d’une rotation d’angle θ dans le plan ( i , j) Ici, on est dans un repère orthonormé (O , i , j) . En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! Tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. exercice soit r2 muni de la base canonique soit r2 r2 la projection sur l’axe des abscisses . Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! e3 = 01 + 0e2 + 1e3 Représentation d’une application linéaire. Introduction Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. on a {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)=\begin{pmatrix}3&2\cr5&4\cr1&7\end{pmatrix}}On notera {[v]_\varepsilon} la matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur {v} de {E} dans la base {(\varepsilon)}. —, Mais attention !!! f(e2) = -8e’1 + 5e’2 Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! Les matrices de passage }, {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)=\begin{pmatrix}3&2\cr5&4\cr1&7\end{pmatrix}}, {A=M_{\varepsilon}(v)=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\cr {[v_{1}]}_\varepsilon&{[v_{2}]}_\varepsilon&\cdots&{[v_{p}]}_\varepsilon\\&&&\end{array}\right)}, {\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}, {\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}}, {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}, Mathématiques et informatique en classe préparatoire, par Jean-Michel Ferrard. Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : " matrice d'une linéaire u de E vers F "n'a pas de sens . On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : Supposons par exemple qu’une base de {E} soit {e=(e_1,e_2,e_3)}, et qu’une base de {F}soit {\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}. Représentation d’une application linéaire Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. La correspondance entre application linéaire et matrice … application, linéaire. Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. Changer de système de coordonnées pour trouver plus facilement la matrice d'une application. . Pour voir la suite de cette page, vous devez : {\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}, {v_j=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\,\varepsilon_i}, {\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\! Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Exemple : supposons que l’ont ait : Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Matrice d'une application: Définition. De même pour P x P -1. Ce résultat théorique a une conséqence pratique importante : en dimension finie, tout problème d’algèbre linéaire est réductible à … Navigation : Précédent | Suivant. — Définition: Soient une base de et une base de . 2 1.2 Rang d’une application linéaire. Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. (b) Déterminer image et noyau de f . Autrement dit, deux applications linéaires fet gde L(E;F) sont égales si et seulement s'il existe une base Bde Eet une base B0de Ftelle que : mat B;B0(f) = mat B;B0(g) R3 La matrice d'un endomorphisme est une matrice carrée. f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : Coordonnées de l’image d’un vecteur par une ap-plication linéaire. Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page. La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. R2 La matrice d'une application linéaire dans des bases Bde Eet B0de Fest unique. O est le centre de la rotation, θ son angle. Matrices d'une projection dans différentes bases. Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible :